Cómo calcular el volumen mediante una matriz

Encuentre el volumen de figuras geométricas utilizando matrices. 

Calcular el volumen

El concepto de encontrar el volumen utilizando una matriz generalmente se enseña en un curso de álgebra lineal. Para encontrar el volumen, la matriz está hecha de vectores puestas en columnas. La matriz A para un paralelepípedo a partir de los vectores [x1, y1, z1], [x2, y2, z2], y [x3, y3, z3] se representa por: [x1 x2 x3 Y1 Y2 Y3 = Un Z1 Z2 Z3 ] El concepto de volumen en el álgebra lineal tiene un significado diferente que en un curso de geometría. Volumen representará el tamaño de la figura representada por el número de vectores en la matriz. Por ejemplo, una matriz con un vector, 1-cuadro, tiene un volumen que representa su longitud. El gráfico es un vector. Una matriz con dos vectores, 2-caja, tiene un volumen que representa su área. El gráfico es un paralelogramo. Una matriz con tres vectores, 3-caja, tiene el volumen que representa el espacio en el interior. El gráfico es un paralelepípedo. Más dimensiones, n, se puede añadir sobre la tercera, n-box, pero los nombres oficiales no se les da. El volumen de la caja-n en una matriz m por n se encuentra tomando la raíz cuadrada del determinante del producto de la transposición de matriz y de la matriz, V = sqrt (det (A ^ T * A). En un caso especial de una matriz N por N, el volumen es sólo el valor absoluto del determinante de A, V = abs (det (A)).

Lo que necesita

calculadora Suggest Edits Encontrar Volumen de un N-Formado a partir de un cuadro de M por N vectorial Matrix

Configuración de la matriz de vectores, A. Ejemplo: Encontrar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores [2, 3, -1], [-4, 5, 0], [1, -2, 4].

[2 | -4 | 1

3 | 5 | -2

-1 | 0 | 4]

Transposición de la matriz A para encontrar un ^ T. Las filas de A se convierten en las columnas de A ^ T.

[2 | 3 | -1

-4 | 5 | 0

1 | -2 | 4]

Multiplique A ^ T y A, junto con las reglas para la multiplicación de matrices. Fila 1 en A ^ T múltiplos de 1 en la columna A con cada paso se multiplican de ser sumada para encontrar el nuevo valor de 1,1. 2 (2) 3 (-4) + (-1) (1) = 4-12-1 = -9. Fila 1 en A ^ T múltiplos de la columna 2 de A con cada paso se multiplican de ser sumada para encontrar el nuevo valor de 1,2. 2 (-4) 3 (5) + (-1) (0) = -8 15 0 = 7. El proceso continúa hasta que todos los 9 valores se encuentran en la matriz de multiplicación.

[2 (2) 3 (3) + (-1) (-1) | 2 (-4) 3 (5) + (-1) (0) | 2 (1) 3 (-2) + (-1) (4)

-4 (2) 5 (3) 0 (-1) | (-4) (-4) 5 (5) 0 (0) | (-4) (1) 5 (-2) + 0 (4)

1 (2) + (-2) (3) 4 (-1) | 1 (-4) + (-2) (5) 4 (0) | 1 (1) + (-2) (-2 ) 4 (4)]

[14 | 7 | -8

7 | 41 | -14

-8 | -14 | 21]

Calcular el valor del determinante de la matriz del producto, A ^ T * A.

14 (41) (21) 7 (-14) (-8) + (-8) (7) (-14) - [(-8) (41) (-8) 14 (-14) (- 14) 7 (7) (21)]

12054 +784 +784- [22624 2744 1029]

13622-6397

7225

Calcular la raíz cuadrada del resultado de encontrar el volumen. El volumen del ejemplo es la raíz cuadrada de 7225. El resultado es el volumen 85 unidades cúbicas.

Encontrar Volumen de una N-box Formado a partir de una N por N Square Vector Matrix

Configuración de la matriz de vectores, A. Ejemplo: Encontrar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores [2, 3, -1], [-4, 5, 0], [1, -2, 4].

[2 | -4 | 1

3 | 5 | -2

-1 | 0 | 4]

Calcula el determinante de A.

2 (5) (4) + (-4) (-2) (-1) 1 (3) (0) - [1 (5) (-1) 2 (-2) (0) + (- 4) (3) (4)]

40-8 +0 [-5 0-48]

32 - (-53)

85

Encontrar el valor absoluto del resultado. El valor absoluto de 85 es 85.

El volumen del paralelepípedo es 85 unidades cúbicas.

Consejos y advertencias

Cuando la matriz de vectores es cuadrada o n por n, calcular el volumen con los pasos de la sección 2 para acortar el proceso.

Una calculadora gráfica se calculará operaciones de la matriz en un corto período de tiempo, pero los pasos para calcular el volumen siguen siendo los mismos, con o sin el dispositivo.

Al multiplicar A ^ T * A, el orden de las matrices es importante. A ^ T debe aparecer en primer lugar. La multiplicación de matrices no es conmutativa. A veces B no es igual a B por A.